陈省身（庆祝自然科学基金制设立15周年和国家自然科学基金委员会成立10周年的讲演）

    张存浩先生要我讲点数学，这么短的时间，而数学这么大，只好举几个要点谈谈。
    数学是什么？数学是根据某些假设，用逻辑的推理得到结论，因为用这么简单的方法，所以数学是一门坚固的科学，它得到的结论是很有效的。这样的结论自然对学问的各方面都很有应用，不过有一点很奇怪的，就是这种应用的范围非常大。
    最初你用几个数或画几个图就得到的一些结论，而由此引起的发展却常常令人难以想象。在这个发展过程中，我认为不仅在数学上最重要，而且在人类文化史上也非常突出的就是Euclid在《几何原本》。这是第一本系统性的书，主要的目的是研究空间的性质。这些性质都可以从很简单的公理用逻辑的推理得到。这是一本关于整个数学的书，不仅仅限于几何学。例如，Euclid书上首先证明素数的个数是无穷的，这便是一个算术的结论。随着推理的复杂化，便有许多“深刻”的定理，需要很长的证明。例如 ，有些解析数论定理的证明，便需几十条引理。
    最初，用简单的方法证明几个结果，大家很欣赏，也很重要。后来方法发展了，便产生很复杂的推理，有些定理需要几十页才能证明。现在有的结果的证明甚至上百页，上千页。看到这么复杂的证明，我们固然惊叹某些数学家高超的技巧和深厚的功力，但心中难免产生一些疑问，甚或有些无所适从的感觉。所以我想，日后数学的重要进展，在于引进观念，使问题简化。先讲讲有限单群的问题。
1.有限单群
    我们知道，数学的发展中有一个基本观念——群。群也是数学之中各方面的最基本的观念。怎样研究群的结构呢？最简单的方法是讨论它的子群，再由小的群的结构慢慢构造大一些的群。群中最重要的一种群是有限群，而有限群是一个难极了的题目，需要有特别的方法，特别的观念去研究。
    命G为群，g∈G为一子群，如对任何g∈G-1g H g ∈H，则称H为正规的(nomal). 正规子群存在，可使G的研究变为子群H及商群G/H的研究。这样就有一个很自然的问题，有哪些有限的单群(*** group).单群除了它自己和单位元(identity)之外，没有其他的非平凡的正规子群(normalsubgroup). 数学上称其为简单群，其实一点也不简单。
    有限群论的一个深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交换单群的阶(数)(即群中元素的个数)是偶数。更不寻常的是除了某些大类(素数阶循环群Zp,交错群An(n>=5), Lie型单群)外，后来发现了26个零零碎碎的有限单群(散在单群，离散单群), 现在知道，最大的散在单群的阶是241×320×59×76×112×133×17×19×23×29×31×41×47×59×71 =808,017…=1054
    这是很大的单群，由B。Fisher 和 R。L.Griess两位数学家所发现，数学家称它为魔群(怪物，Monster).
    单群的权威数学家D.Gorenstein相信有限单群都在这里了，这当然是数学上一个很好的结果。把单群都确定了，就像化学家把元素都确定了，物理学家把核子的结构都确定了一样。可这里有个缺点，Gorenstein并未将证明定出来。他讲若将证明写出来至少有1000页，而1000页的证明无论如何很容易有错误。可是Gorenstein又说，不要紧，若有错误，这个错误一定可以补救。你相信不相信？数学界有些人怀疑这样的证明是否必要。现在计算机的出现，许多问题可以验证到很大的数，是否还需要严格的证明，已变成数学上一个有争论的问题。这个争论看来一时无法解决。段学复先生是我的老朋友，是有限群论的专家，也许我们可以问一下他的意见。我个人觉得这个问题很难回答。不过数学家有个自由，当你不能做或不喜欢做一个问题时，你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜欢做的问题。
2.四色问题
     把地图着色，使得邻国有不同的颜色，需要几种颜色？经验告诉我们，四色够了。但是严格的证明极难。这就是有各的四色问题。
    地图不一定在球面上，也可在亏格高的的曲面上(一个亏格高为g的曲面在拓扑上讲是球面加g个把手；亏格为1的曲面可设想为环面)。可惊奇的是，这个着色问题，对于g>=1的曲面完全解决了。可以证明：有整数χ(g),满足条件：在亏格为g的曲面上任何地图都可用χ(g)种颜色着色，使邻国有不同颜色，且有地图至少需要χ(g) 种颜色。这个数在g>=1时可以完全确定。我们知道χ(1)=7，即环面上的地图可用七色着色，四色不够。
    令人费解的是，证明地球上四色定理，困难多了。现有的证明，需要计算机的帮助，与传统的证明不同。而我们觉得最简单的情况，即我们住的地球球面上的着色问题反而特别复杂。把扩充的问题解决了，得到了很有意思的结论。但是回到基本问题，反而更难。
    这种现象不止这一个，还有很多，一个例子是所谓的低维拓扑，即推广的问题更简单，而本身核心的问题反而不易克服，这确是数学神秘性的一面。
3.椭圆曲线
    最近的数学进展，最受人注意的结果就是Fermat大定理的证明。Fermat大定理说：方程式xn + yn=zn ,n>2没有非平凡的整数解(即xyz<>0). 这个传说了300年的结果的证明，最近由Princeton大学的教授Andrew J.Wiles(英国数学家)给出。但证明中缺一段，是由他的学生Richard Tarlor补充的。因此，Fermat 定理现在已经有了一个完全的证明。整个文章发表在最近一期的“Annals of Mathematics”(Prinston大学杂志，1996，第一期)整个一期登的是Wiles与Taylor的论文，证明Fermat定理(Wiles为此同Robert Langlands 获得了1996年的Wolf奖与National Academy Science Award in Mathematics).
    有意思的是，证明这个定理的关键是椭圆曲线。这是代数数论的一个分支。有以下一则故事。英国的大数学家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去医院探望他的朋友，印度天才数学家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽车号是1729。他向Ramanujan说，这个数目没有意思。Ramanujan说，不然，这是可以用两种不同方法写为2个立方之和的最小的数，如1729=13+123=93+103这结果可用椭圆曲线论来证明。
    我们知道，要找一个一般方程的解不容易的，而要找一个系数为整数的多项式方程P(x,y) = 0(传统上叫Diophantine方程)的整数解更困难。因为普通的解不会是整数，这是数论中的一个主要问题。
    需要说明的，在Wiles 完成这个证明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth A.Ribet ,他有重要的贡献。他证明了一日本数学家Yutaka Taniyama的某一个关于椭圆曲线的假设包含Fermat定理。于是可将Fermat 定理变为一个关于椭圆曲线的定理。Wiles根据Ribet的结果又继续经过了许多步骤，以至达到最后的证明。即在复平面内得到曲线。由复变函数论知道，复平面内的曲线就成为一个Riemann曲面。Riemann曲面为定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一个最简单的情形，就是一个球加上一个把手，即一个环面。环面是个群，且为可交换群。
    [...]

          “数学是一门研究数量关系和空间形式的科学”的说法在中国曾经十分流行，这可能与恩格斯著作的长期影响有关。对于数学，今天人们更加认同于如下的说法：
  
　　“数学是一个完全自成体系的知识领域…数学仅仅讨论它本身想象中的实体及关系”（《科学技术百科全书》[麦格劳-希尔图书公司]第1卷数学，科学出版社1980，235-236页）；
  
　　 “到1900年，数学已经从实在性中分裂出来了；它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权，因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了”（ 克莱因《古今数学思想》第4册，上海科学技术出版社1979，111页）。
  
　　照此说法，数学就不是“数”学了。然而，数学与生俱来的强大应用性并不因为“数学已经从实在性中分裂出来了”而有稍微的减弱。既是抽象的又有实在的一面，人们逐渐形成了对数学的主流看法——数学的现状“一方面是其内在的统一性，另一方面是外界应用的更高的自觉性”，数学的两种趋势是“从外部寻求新问题和在内部追求统一”（美国国家研究委员会《振兴美国数学——90年代的计划》，叶其孝等译，世界图书出版公司1993），而不再局限于给数学下一个定义。
  
　 　无理数是一个能恰好地描述数学特征的案例。从数学发展史看，人类对无理数的发蒙始于古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前582-497）学 派，但二千四百年后才产生包括无理数在内的实数严格定义；从当今教育的知识体系看，学生在初中阶段开始接触无理数，直到大学毕业却仍然不明白无理数的实质 含义。历史与现实两者的契合正好说明无理数的两面特征，应用性使得它是常见的数学工具之一，而抽象性又使所有非数学工作者不能真正认识它。
  
　　数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”（克莱因《古今数学思想》第4册，上海科学技术出版社1979，41页）。零与自然数的产生源于人类在生存活动中的原始冲动，这一推测想来不会有问题，人的双手有十指与十进制的广泛使用也当然有密切关系；
  
　　类似于 2+3=5 的事实产生了加法的概念，然而2加上几会等于1呢？由此需要定义负数：一个数的“负数”即它与该数之和等于0；进而定义减法。产生零、负自然数，合称整数；
  
　　加法的重复进行产生了乘法，2×3=6 就是三个2相加。然而2乘以几会等于1呢？由此需要定义倒数：一个数的“倒数”即它与该数之积等于1，进而定义除法，产生既约分数，合称有理数。
 
 　　以上过程不论用抽象的数学语言还是通俗语言来描述都容易为人接受，可以说由于计数、测量的需要而扩大了数系。
  
　　最早出现的无理数也与计数、测量有关。乘法的重复进行产生了乘方，23 就是三个2相乘，然而哪个数的平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用√2表示对角线的长度，无理数的概念初步形成。
  
　 　以下是关于√2不是有理数的一个证明，载于欧几里德《几何原本》，但据说是更早的毕达哥拉斯学派所作 ：设√2是既约分数p/q，即√2=p/q，则2q2=p2，这表明p2是偶数，p也是偶数（否则若p是奇数则p2是奇数），设p=2k，得 q2=2k2，于是q也是偶数，这与p/q是既约分数矛盾。
  
　 　虽然开方运算可能产生无理数，但仿照上述办法来扩张数系会遇到困难。例如仅用开方定义新的数例如√2，3√2（后来被称为初等无理数）是不够的； (1+√2) 就不能通过对某有理数开方而得，那么(1+√2)是什么？试作一比较，任何有理数总可以乘以某整数而还原成整数，但(1+√2)的任何次乘方却不可能得到 有理数。
 
 　　考虑到此，容易想到的办法是用有理数的加减乘除、乘方、开方定义新的数，后来被称为复合无理数，显然它包含了初等无理数。毕竟扩张数系的动力之一是使代数方程有解，例如(1+√2)的产生使得方程x2-2x-1=0有解。
  
　　但又有新的问题，挪威数学家阿贝尔（Abel，1802-1829）于1825年证明“一般五次方程不能只用根式求解”，紧接着法国数学家伽罗瓦（Galois，1811-1832）解决“方程须有何种性质才可求根式解”的问题，复合无理数立即黯然失色。
  
　　数学家顽强地推进，索性将新的数系定义为所有有理系数方程的根（后来称为代数数），有理数、初等无理数、复合无理数都被包括在内。数系的扩张本来是从现实需要出发的问题，但现在已经开始变得抽象了，因为代数数中那些不是有理数、初等无理数、复合无理数的“数”究竟什么样子？这不仅不能回答，似乎也并不重要，重要的是这样的“数”确实存在。
  
　　不得不面对的烦恼是，一个代数数的描述与运算都必须通过相关的代数方程的系数，而且代数方程的根通常不是唯一的。
  
　　彻底摧毁这一定义方式的是1844年柳维尔（Liouville，1809-1882）证明非代数数的存在。早在1830年代，e=1+(1/1!)+(1+2!)+…+(1/n!)+…与圆周率π被证明是无理数，在柳维尔的结论宣布后不久，1873年、1883年数学家埃尔米特(Hermite，1822-1901)与林德曼（Lindemann，1852-1939）先后证明e,π不是代数数。
  
　　由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。它看起来很通俗，不明白无理数奥妙的人大体也是这样理解无理数的。但这样做遇到的困难更大：关键的问题是你无法判断一个数是无限不循环的，也不能将两个无限不循环的数进行加减乘除。
  
　　不循环的无限小数当然是难以认识，如果我们翻用一下列夫?托尔斯泰著名小说《安娜?卡列尼娜》中的名句“幸福的家庭都是幸福的；不幸的家庭各有各的不幸”，那就是：循环的小数都是一样的循环，不循环的小数各有各的不循环！16世纪德国数学家施蒂费尔（Stifel，约1486-1567）说“当我们想把它们数出来（用十进小数表示）时，…就发现它们无止境地往远处跑，因而没有一个无理数实质上是能被我们准确掌握住的…。而本身缺乏准确性的东西就不能称其为真正的数…。所以，正如无穷大的数并非数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种无穷迷雾后面的东西”（克莱因《古今数学思想》第1册，上海科学技术出版社1979， 292页）
  
　　克莱因指出“所有在Weierstrass（德国数学家外尔斯特拉斯1815-1897——引注）之前引进无理数的人都采用了这样的概念，即无理数是一个以有理数为项的无穷序列的极限。但是这个极限，假如是无理数，在逻辑上是不存在的，除非无理数已经有了定义”（克莱因《古今数学思想》第4册，上海科学技术出版社1979，46页）。
  
　　一本著名的数学教材将“无限不循环小数”称为“中学生的实数”，“用这个定义，实数是非常具体的对象，但在定义加法和乘法时所包含的困难是不容忽视的”，在介绍了加法定义的一种方式及指出乘法可类似处理后说“不过，乘法逆元素的存在将又一次是最困难的”并就此打住（斯皮瓦克《微积分》下册，张毓贤等译，人民教育出版社1981，695页）。
  
　　根据施蒂费尔的说法我们只能说√2不是有理数，而不能说它是无理数，因为我们还没有定义什么是“无理数”。前述古希腊人关于√2无理性的证明应当是“不存在这样的有理数使其平方等于2”。由于除了有理数就没有数，√2根本就不是“数”。
  
　 　现在可以看到无理数问题的困难所在：从开方运算的逆运算与确定边长为1的正方形的对角线长度的需要，都应当在有理数的基础上再扩大，这与以往从自然数扩 大到整数、从整数扩大到有理数没有什么两样。然而在具体做法上，利用运算的逆向进行或通过对有理数进行代数运算或用代数方程的根而产生的“数”是不完全的，“无限不循环小数”的说法又不合理不严格。这一困难使数学史上数系的扩张停滞了两千多年。
  
　 　进一步扩张数系的必要性是不成问题的，在很长时间里人们将无理数理解为其近似值，从实用的角度来说，一个没有严格定义的东西难道就不能存在、不能使用 吗？但是数学奉行严密逻辑的理念自欧几里德《几何原本》以来就坚定不移，不以现实为背景的非欧几何的产生（18世纪）加深了数学家对于摆脱实在性的趋同。
  
　　从整数产生有理数曾经主要是根据测量、计数的需要，但现在要回到始点从头做起。例如纯粹从数学发展的内在动力与逻辑展开来定义有理数：
  
　　设p,q是整数，则数偶(p,q)称为有理数，规定两个有理数的乘法、加法规则，证明它们符合交换律、结合律等等。这是一个用以参考的范式：将某种“对象”定义为实数，其目标与要求应当是能包含以上已有的所有对象，有通常的加法乘法且符合运算规则。
  
　　以下介绍的两种定义中的“数”仅指有理数，而实数是用“数”按特定方式构成的那样一些“对象”或“东西”。
  
　　戴德金（Dadekind，1831-1916）定义：一个实数定义为有理数的一个集合，这个集合是数轴上所有有理数从某处分开的左边“一半”（数学术语为“分割”），且没有最大的数。
  
　　按戴德金的定义，实数集合的每个元是有理数集合的一个子集，一个实数是有理数的一个集合。例如所有小于2的有理数集合确定一个实数，它就是2；所有其平方小于2的有理数集合确定一个实数，它就是√2。须注意这两例有一个重要区别，对应于有理数的“分割”其“右半”有最小的数2，对应于无理数的“分割”其“右半”没有最小的数。戴德金的定义来源于这样的启示：每个有理数作为有长度的线段，对应着数轴上的坐标。边长为1的正方形的对角线线段也应对应数轴上的一个点，这意味着如果只有有理数，数轴上存有“空隙”——尽管有理数非常稠密。应当填补这些“空隙”使数轴成为完美的，欧几里德《几何原本》中曾记载过这一思想的雏形。
  
　　康托（Cantor，1845-1918）定义：一个实数定义为有理数的柯西序列a1,a2,…,an，此处an都是有理数，且满足对于任意自然数p必有自然数N，使当m＞N,n＞N时有|am-an|＜1/q。康托的定义来源于如下的启示：若只限于有理数，则“微积分”的命题“单调有界数列必收敛”可能不成立，例如有理数数列x0=1,xn+1=(xn+2/xn)/2 是单调递减的、有界的，其极限是√2。
  
　　在以上两种定义中还要分别规定实数之间的大小比较、如何运算然后证明运算是符合熟知的规则的。另一个需要解决的重要问题是，这两种实数定义所规定的这些“东西”在抽象意义上是不是相同的？如果不能肯定回答岂不会带来一片混乱，何况还会有其它形式的实数定义。这些问题当然都已一一妥帖解决。
 
 　 　试对两种定义做一比较评判：康托的定义较实在，由于明显涉及了无限（必定有时间如何发展的直觉）的概念称为是动态的。例如，说数列 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…定义无理数√2，必须附加对于数列变化规律的种种说明。戴德金的定义较虚幻，但是是静态的，它摆 脱了由时间直觉所附加的束缚。
  
　　为了加深印象，现在我们必须用最简明最通俗的语言来描述一下“实数”：按戴德金的说法，一个实数是有理数的一个集合；按康托的说法，一个实数是有理数的一个（柯西）序列。数学史上还有别的实数定义，在那里实数又有另外一副面孔。
  
　　几乎在构建实数体系的同时，1874年康托还证明了无理数比有理数多得多、非代数数比代数数多得多！这也意味着，无形的、不是根式的无理数竟比直观的、根式的无理数多得多！数轴上代表有理数的点虽然是稠密的——任何两个有理数点之间恒有无数多有理数点，但是除有理数点外的“空隙”更多。“空隙”一旦填满，稠密概念发展成了连续的概念，数轴上点与实数完全对应，无理数问题画上了永远的句号。这里涉及关于集合中元素“个数”的比较问题，本文限于篇幅就此打住了。
 
　　实数体系的建立，使得诸如3√2表示什么得以明确，“高等数学”中命题“单调有界数列必收敛”、闭区间连续函数的性质得以证明。
  
　　然而从应用角度或对于非数学工作者（绝大多数人）而言，却是再次回到古希腊。无理数仍然是“小数”，人们并不真正关心它的“无尽”、“不循环”，事实上也无法弄清楚，只是按需要取作适当位数的近似值。例如说到圆周率π，为什么要关心它是循环的还是不循环的呢？“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量”（丹齐克《数：科学的语言》苏仲湘译，上海教育出版社2000年，98页）。
 
　　至于数学家，在定义了无理数之后依然两手空空，数学家所知道的无理数确实少的可怜：知道得最多的只是各式各样的根式，这是古希腊人即已知道的；其次是π与e两个非代数数。那些比代数数多得多的无理数在哪儿？1900年数学家希尔伯特（Hilbert，1862-1943）提出著名的23个数学问题即包括了这一内容。以后的进展是，数学家证明若α是代数数（除0与1）、β是无理的代数数，则αβ是非代数数（1934年）。然而，若稍微追问一句“(π+e)是无理数还是有理数”？则至今都没有严密的答案。数学家心安理得的是建立了无懈可击的实数体系，在坚实的基础上，任何闲言碎语都是不足道的。无理数所体现的完美无缺、一丝不苟的纯粹理性与无孔不入、尽人皆知的世俗应用，可谓占尽天上人间风光，正是数学的魅力之所在。

数学 mathematics, maths(BrE), math(AmE) 公理 axiom 定理 theorem 计算 calculation 运算 operation 证明 prove 假设 hypothesis, hypotheses(pl.) 命题 proposition 算术 arithmetic 加 plus(prep.), add(v.), addition(n.) 被加数 augend, summand 加数 addend 和 sum 减 minus(prep.), subtract(v.), subtraction(n.) 被减数 minuend 减数 subtrahend 差 remainder 乘 times(prep.), multiply(v.), multiplication(n.) 被乘数 multiplicand, faciend 乘数 multiplicator 积 product 除 divided [...]

20世纪60年代出现了非标准分析，它是利用数理逻辑方法
来探讨和刻画微积分的理论基础，引起了人们的重视，为数学开辟了新的研究领域。
通 常的数学分析，又称为标准分析，其主要部分是微积分学，它是以现实世界中的连续变量及其相互关系为研究对象的数学分支。它的基本概念是在实数系范围内取值 的变量和函数的概念，它的研究方法是极限理论。所以，标准分析是指十九世纪柯西、魏尔斯特拉斯等人用极限方法所建立的微积分理论，他们在数学的证明中用极 限方法代替了无限小量方法，对微积分理论作了较严谨的逻辑论证，他们的理论比十七、十八世纪的微积分理论前进了一大步。这表现在它创立了一系列判别法则， 发现了关于函数的连续性、可微性的一些重要结果。
围绕微积分的一场争论曾在18世纪初激烈进行。话可从牛顿时代说起。试看求y=x2的导数。先取无穷小量⊿x，则⊿y=(x+⊿x)2-x2=2x⊿x+⊿x2，即⊿y/⊿x=2x+⊿x。又因为⊿x是无穷小量可忽略不计，即得y/=2x。无穷小量⊿x在这里既不是0（可用⊿x 去除），却又等于0（最后忽略不计，⊿x就消失了）。这套办法似乎有点像变魔术。马克思称略去⊿x是“暴力镇压”，大主教贝克莱则呼之为“逝去量的鬼魂”或“已死量的幽灵”（ghosts of departed quantities）。这种把无穷小神秘化的做法确实不太好，“招之即来，呼之即去”，完全是神差鬼使的一套。然而不管如何攻击，它的运算结果却总是对的。大数学家欧拉曾用这种不严格的微积分做出了辉煌的成果。渐渐地人们也不再有异议了。
到了19世纪，法国数学家柯西认识到，结论正确并不意味着体系完整，于是着手使“无穷小分析”严格化。这就是著名ε—N和ε—δ说法，这个说法到19世纪70年代才由魏尔斯特拉斯完成。这种寓动于静，表示极限过程的描述，把神秘化的外衣去掉了：所谓无穷小，不过是极限为0的变量而已。它不是“一个数”，而是一个变化过程，即不断向常数0以 误差可任意小进行逼近的一个变量。它的表示完全是算术化了的，ε，δ等的关系，明确无误，一目了然。然而，“无穷小”不是数，不能直接除，也不能忽略不 计，生动活泼的运算淹没在形式的海洋里，人们抱怨微积分越来越难学。工程学家不理会对无穷小的批评，仍然沿用牛顿—欧拉时代的方便做法，把“无穷小”拿在 手里不肯丢掉。不过，“无穷小”在数坛上终究呆不住，20世纪以来，几乎销声匿迹，偶尔提到它，也不过是习惯性的名词介绍而已。
1960年秋事情有了转机。数理逻辑学家阿伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson,1918~1974,生于德国的犹太人，1962年去美国）在普林斯顿大学的一次报告中指出：现代数理逻辑的概念和方法能为“无穷小”和“无穷大”作为“数”进入微积分提供合适的框架。1961年，罗宾逊在荷兰阿姆斯特丹皇家科学院学报上发表文章，题为《非标准分析》，表明这一新数学分支已经呱呱坠地了。

    在标准分析里，研究的有理数和无理数的集合称为实数集合。实数集合与直线上的点一一对应，实数的集合是连续的。在非标准分析里，罗宾逊的基本想法是：无穷 小既然不是一个“数”，即在实数集合中没有它的位置，那么我们是否能把实数集合扩大，使之成为新的超实数集合，而微积分在超实数集合中实施时，能够保持当 年牛顿—欧拉时代的直观和简便易行？罗宾逊用数理逻辑中模型论的方法做到了这一点。在超实数集合中，每一通常的实数是标准数，它的周围聚集着许多“无穷小 ”（非标准实数），就像电子围绕原子核一样。在超实数集合中没有阿基米德性质，即任取整数α和β，不一定都能找到自然数n，使nα＞β，因为无穷小是大于0的非标准实数，它的任意整倍数仍是无穷小，不可能大于正标准数β。
从 “宏观”上看，超实数集合的数轴与实数集合的数轴一样。但是从“微观”上看并不相同，在超实数轴上的每一点内，有许多非标准实数。这些非标准实数彼此相差 无限小量，形成了一个有内部结构的点，称为“单子”，每个“单子”只有一个标准实数。从标准实数来看，点与点是连续的，从超实数轴来看，点与点是连续与间 断的对立统一。
从它的物理意义来说，如一条光线，从“宏观”看来，它是连续的，从“微观”看来不仅不连续，而且不均匀，量子理论证明了光具有波动和粒子二像性，正表明了光是连续与不连续的对立统一。
非 标准分析为我们打开了一个新的世界——“点”的世界。任何一个“点”，都是一个“世界”；任何一个世界，都是一个“点”，正如天外有天一样，点内又有点。 在太阳系中，地球是一个“点”，它是有结构的，可分的，同样分子可作为一个“点”，它有结构，是可分的。从数学上说，由更小的层次看来，在任何一个“点” 中，都可以建立坐标系，因为它是一个“世界”，由更大的层次看来，在任何一个“世界”都可以仅仅是坐标系的一点。非标准分析接受了“点”的可分性的辩证 法。
这 套数理逻辑的方法是相当烦琐的，要弄懂它比搞清微积分概念困难得多。但是无穷小毕竟堂而皇之地重返数坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员，这是非标准分 析给我们带来的“革命”信息，是令人高兴的事情。从哲学上看，也自有它的意义。否定之否定，微积分学的基础又得到了新发展，真是“柳暗花明又一村！”
1965年4月，罗宾逊写了《非标准分析》一书，广为流传。许多数学家对此表示支持，也有许多人表示怀疑。1973年，罗宾逊在普林斯顿高等研究所遇到著名的哥德尔——本世纪最著名数理学家。哥德尔作了这样的评价：
“ 非标准分析不但常常能够简化初等定理的证明，而且对简化艰深结论的证明也同样有效。例如，对于紧算子具有“不变子空间”的定理就能大大简化。……我们有理 由相信，不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析。……在未来世纪中，将要思量数学史中的一件大事，就是为什么在发明微积分学后300年，第一个严格的无限小理论才发展起来。”

哥德尔的评价使非标准分析更加受人重视。非标准的群论、非标准的泛函分析、非标准的拓扑，相继问世。基斯勒（Keisler） 写了一本非标准分析的微积分教科书，经过试教，据说接受情况良好，准备扩大试验。但是，对它抱怀疑态度的人最近越来越多。理由是“凡用非标准分析能得到的 结果，用原来的标准方法都能得到，既然没有新东西，本身又那样难懂，何必去学它呢？”更有人认为非标准分析不过是数理逻辑学家在“想入非非”、“见异思迁 ”，实在是多此一举。至于非标准分析是否能成为“未来世纪的数学分析”，恐怕要接受实践的检验，经受历史的考验。人们接受一种新事物需要一个过程，尤其对 于一种新说法、新装饰、更需要时间。要人们普遍使用非标准分析，简直就像让人去说另一门外语一样难。哥德尔的预言是否正确，且看将来吧！不过，罗宾逊使无 穷小再生的功绩将不会抹杀，在数学史上一定会有一席地位的。

    一份中国学科分类国家标准，看看，就一个数学中的一个分支一个人一辈子都研究不完。其中也说明了，应用数学归为每个具体应用学科里面。除了专门数学专业的，其他专业的也只是学了其中在本学科需要的一小部分而已。
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